f(x)=ax+bx2+1是定义在区间（

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

f(x)=

ax+b
x2+1
是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求f（x）解析式；
（2）证明：f（x）为增函数；
（3）求不等式f（x-1）+f（x）＜0的解．

答案

（1）∵f（x）为奇函数
∴f（0）=0，即b=0，
又f(

1
2
)=
1
2
a
1
4
+1
=
2
5
，解得a=1，
∴f(x)=
x
x2+1
．…（4分）
（2）证明：设-1＜x1＜x2＜1
即△x=x2-x1＞0，
△y=f(x2)-f(x1)=
x2
x22+1
-
x1
x12+1
=
(x2-x1)(1-x1x2)
(x22+1)(x12+1)
，
∵-1＜x1＜1，-1＜x2＜1，
∴-1＜x1x2＜1，
∴1-x1x2＞0，x2-x1＞0，
∴(x22+1)(x12+1)＞0，
∴△y＞0，
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）∵f（x）为奇函数
又f（x-1）+f（x）＜0
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x）…（9分）
又f（x）在（-1，1）上为增函数
∴

解析

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