题目

设函数f(x)=

x2+1

x

(x≠0)
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若0＜x＜1，判断f（x）的单调性，用定义证明，并比较f（sinα）与f(cosα)(0＜α＜

π

2

)的大小．

答案

（1）函数的定义域关于原点对称，
因为f(-x)=

x2+1

-x

=-

x2+1

x

=-f(x)，
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x2)-f(x1)=

x 22 +1

x2

-

x 21 +1

x1

=(x2-x1)⋅

x1x2-1

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂0，x₁x₂＜1，
所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)⋅

x1x2-1

x1x2

＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），所以函数在（0，1）上为单调减函数．
当0＜α＜

π

4

时，cosα＞sinα，此时f（sinα）＞f（cosα），
当α=

π

4

时，cosα=sinα，此时f（sinα）=f（cosα），
当

π

4

＜α＜

π

2

时，cosα＜sinα，此时f（sinα）＜f（cosα）．

解析