已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x

难度：一般 题型：解答题 来源：南京三模

题目

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m
（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在整数a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

答案

证明：（1）f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m．
令f（x）-g（x）=0．
则△=（m-2）2-4（m-3）=m2-8m+16=（m-4）2≥0恒成立．
所以方程f（x）-g（x）=0有解．
所以函数f（x）-g（x）必有零点．
（2）①G（x）=f（x）-g（x）-1=-x2+（m-2）x+2-m．
①令G（x）=0，△=（m-2）2-4（m-2）=（m-2）（m-6）．
当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）=-x2+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
所以|G（x）|=x2-（m-2）x+m-2．
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数，所以

m-2
2
≥0．解得m≥2．
所以2≤m≤6．
当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|=|x2-（m-2）x+m-2|．
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数，
所以方程x2-（m-2）x+m-2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x=
m-2
2
≤-1．
所以

解析

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