题目

已知函数f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）用关于m的代数式表示n．
（2）求函数f（x）的单调增区间．

答案

（Ⅰ）由已知条件得f"（x）=3mx²+2nx，
又f"（2）=0，∴3m+n=0，故n=-3m．
（Ⅱ）∵n=-3m，∴f（x）=mx³-3mx²，∴f"（x）=3mx²-6mx．
令f"（x）＞0，即3mx²-6mx＞0，
当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f（x）的单调增区间是（0，2）．
综上，当m＞0时，函数f（x）的单调增区间是（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，函数f（x）的单调增区间是（0，2）．

解析