题目

已知函数f（x）=x²+（a+1）x-b²-2b，且f(x+

1

2

)=f(

1

2

-x)，又知f（x）≥x恒成立，求：
（1）y=f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=log₂[f（x）-x-1]，求函数g（x）的单调增区间．

答案

（1）由f(x+

1

2

)=f(

1

2

-x)，知f（x）图象的对称轴为x=

1

2

，
所以-

a+1

2

=

1

2

，解得a=-2，
f（x）≥x，即x²-x-b²-2b≥x，
所以x²-2x-b²-2b≥0，即（x-1）²-（b+1）²≥0，
因为f（x）≥x恒成立，所以-（b+1）²≥0，所以b=-1，
所以y=f（x）=x²-x+1．
（2）由（1）知g（x）=log₂（x²-2x），
由x²-2x＞0解得x＜0或x＞2，所以函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞），
因为y=log₂t递增，t=x²-2x在（2，+∞）上递增，
所以g（x）在（2，+∞）上递增，即g（x）的递增区间为（2，+∞）上递增；

解析