已知奇函数f（x）的定义域为实数集，且f（x）在

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知奇函数f（x）的定义域为实数集，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，当0≤θ≤

π
2
时，是否存在这样的实数m，使f（4m-2mcosθ）-f（2sin2θ+2）＞f（0）对所有的θ∈[0，
π
2
]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，说明理由．

答案

由题意，函数f（x）的定义域为实数集
∴f（x）在（-∞，+∞）上连续
∵函数f（x）为奇函数，在[0，+∞）上是增函数，
故f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
由f（0）=-f（-0），得f（0）=0
f（4m-2mcosθ）-f（2sin2θ+2）＞f（0）=0
移向变形得f（4m-2mcosθ）＞f（2sin2θ+2）
∴由f（x）（-∞，+∞）上连续且为增函数，得
4m-2mcosθ＞2sin2θ+2
∴2cos2θ-4-2mcosθ+4m＞0
cos2θ-mcosθ+（2m-2）＞0
根据题意，0≤θ≤

π
2
时，0≤cosθ≤1
方法（1）
令t=cosθ∈[0，1]
则问题等价于t∈[0，1]时，t2-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围
令f（t）=t2-mt+（2m-2），此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=
m
2
，
分类讨论：
①当此抛物线对称轴t=
m
2
在区间[0，1]内时，m∈[0，2]，
函数最小值（2m-2）-
m2
4
＞0即可，此时m2-8m+8＜0，
∴4-2

解析

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