题目

用定义证明：函数f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是减函数．

答案

证明：设x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，1]，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2x₁^-1-2x₂^-1
=（

x

21

-

x

22

）+2（

1

x1

-

1

x2

）=（x₂-x₁）[

2

x1x2

-（x₁+x₂）]
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜2，

2

x1x2

＞2
∴（x₂-x₁）[

2

x1x2

-（x₁+x₂）]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是减函数．

解析