题目

函数f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(x＞0，a∈R)．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

对于x∈（1，2）恒成立．

答案

（1）函数的定义域是（0，+∞），导数f′（x）=

1

x

-

a

x2

，
 若a≤0，导数f′（x）在（0，+∞）上大于0，函数的单调增区间是（0，+∞）；
若a＞0，在（a，+∞）上，导数大于0，函数的单调增区间是（a，+∞），
在（a，+∞）上，导数小于0，单调减区间是（0，a）
（2）由第一问知道，当a＞0时候，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
所以要使得函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0，即a=1
（3）要证

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

，即证

1

lnx

＜

1

x-1

+

1

2

，即证lnx＞

2x-2

x+1

设g(x)=lnx-

2x-2

x+1

，∴g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

＞0，x∈(1，2)恒成立
∴g（x）_min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

解析