题目

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数y=f（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）当0≤x＜1时总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

答案

（1）设函数y=g（x）的图象上任意一点为P（x，y），则点（-x，-y）在函数y=f（x）的图象上
∴-y=log_a（-x+1）即y=loga

1

1-x

∴g(x)=loga

1

1-x

；
（2）f(x)+g(x)≥m⇒loga(x+1)+loga

1

1-x

≥m⇒loga

x+1

1-x

≥mloga

x+1

1-x

≥m对0≤x＜1恒成立即m≤(loga

1+x

1-x

)min
当0≤x＜1时，

x+1

1-x

=-1+

2

1-x

∈[1，+∞)
又a＞1
∴(loga

1+x

1-x

)min=loga1=0
∴m≤0．

解析