设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=ln

难度：一般 题型：解答题 来源：韶关模拟

题目

设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．
（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；
（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．

答案

（1）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1-x）+m=-x2+x+m=-(x-

1
2
)2+m+
1
4

∴当x=
1
2
时，f(x)max=m+
1
4

当x∈（1，m]时，f（x）=x（x-1）+m=x2-x+m=(x-
1
2
)2+m-
1
4

∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）max=f（m）=m2
由m2≥m+
1
4
得：m2-m-
1
4
≥0又m＞1⇒m≥
1+

解析

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