题目

若实数a≠0，函数f（x）=-2ax³-ax²+12ax+1，g（x）=2ax²+3．
（1）令h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的极值；
（2）若在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=-2ax³-3ax²+12ax-2
∴h"（x）=-6ax²-6ax+12a=-6a（x+2）（x-1）
令h"（x）=0，∴x=-2或x=1
若a＞0，当x＞-2时，h"（x）＞0；当x＜-2时，h"（x）＜0
∴x=-2是函数h（x）的极小值点，极小值为h（-2）=-20a-2；
当x＞1时，h"（x）＜0；当x＜1时，h"（x）＞0
∴x=1是函数h（x）的极大值点，极大值为h（1）=7a-2
若a＜0，易知，x=-2是函数h（x）的极大值点，极大值为h（-2）=-20a-2；x=1是函数h（x）的极小值点，
极小值为h（1）=7a-2
（2）若在（0，+∞）上至少存在一点x₀使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
则f（x）＞g（x）在（0，+∞）上至少存在一解，即h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解
由（1）知，当a＜0时，函数h（x）在区间（0，+∞）上递增，且极小值为h（1）=7a-2＜0
∴此时h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解；
当a＞0时，函数h（x）在区间（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴要满足条件应有函数h（x）的极大值h（1）=7a-2＞0，即a＞

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7

综上，实数a的取值范围为a＜0或a＞

2

7

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解析