题目

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁、x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

答案

（1）证明：令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．

（2）证明：设x₂＞x₁＞0，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）
=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1．
∴f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解析