题目

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（　　）

A．3

B． 1 3

C．2009

D． 1 2009

答案

由题意知，对于任意的实数都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=2代入上式得，f（3）f（1）=1，
∵f（3）=3，∴f（1）=

1

3

，
令x=x+1代入得，f（x+2）f（x）=1，则f（x+2）=

1

f(x)

，
f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），∴f（x）是周期函数且周期是4，
∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1）=

1

3

．
故选B．

解析