题目

定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是减函数，当x∈[0，

π

2

），f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是______．

答案

∵函数f（x）为奇函数又是减函数，
f（sin²x-msinx+m）+f（-2）＞0恒成立⇔不等式f（sin²x-msinx+m）＞f（2）恒成立
⇔不等式sin²x-msinx+m＜2恒成立
⇔m（1-sinx）＜2-sin²x恒成立，
∵x∈[0，

π

2

），
∴m＜

2-xin2x

1-sinx

恒成立，
记g（x）=

2-xin2x

1-sinx

，x∈[0，

π

2

），令t=sinx，则t∈[0，1）
∴g（t）=

2-t2

1-t

，g′（t）=

(t-1)2+1

( 1-t) 2

＞0，
∴g（t）在区间[0，1）上单调递增，
∴g（t）_min=g（0）=2
∴m＜2
故答案为：（-∞，2）．

解析