题目

已知函数f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）．
（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个实根为x₁，x₂，且-1≤a≤1，求|x₁-x₂|的最大值；
（3）在（2）的条件下，若对于[-1，1]上的任意实数t，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）由f（1）=1得a=-1，
f′（x）=

2(x2+2)-2x(x+1)

(x2+2)2

=

-2(x2+x-2)

(x2+2)2

=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

≥0
-2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2]和[1，+∞），增区间是[-2，1]（5分）
（2）方程f（x）=

1

x

可化为x²-ax-2=0，△=a²+8＞0
∴x²-ax-2=0有两不同的实根x₁，x₂，
则x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x₁-x₂|=

解析 相关题目 已知函数f（x）=2x-ax2+2（x∈ 已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x 对于函数f(x)=a-2bx+1 （a∈ 已知a＞0，a≠1，函数f(x)= 如果函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且f（ 设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=- 若f（n）表示n2+1（n∈N*）的各位数字之和 对于函数f（x），在使f（x）≥M恒成立的所有 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f 已知一次函数f（x）=ax-2，（a≠0）．（1 闽ICP备2021017268号-8