题目

设y=f（x）=lg

5-x

5+x

．
（1）求函数y=f（x）的定义域和值域；
（2）判断y=f（x）的奇偶性；
（3）判定y=f（x）的单调性．

答案

（1）由题意可得

5-x

5+x

＞0，解不等式可得-5＜x＜5
函数的定义域（-5，5）
令t=

5-x

5+x

，则t＞0，t能取到一切大于0的值
由对数函数的性质可得值域R
（2）∵函数的定义域（-5，5）关于原点对称
∵f(-x)=lg

5+x

5-x

=-lg

5-x

5+x

=-f(x)
∴函数f（x）=lg

5-x

5+x

为奇函数
（3）∵函数的定义域（-5，5）
∵t=

5-x

5+x

=-1+

10

5+x

在（-5，5）单调递减，y=lgt在（0，+∞）单调递增
根据复合函数的单调性可得，函数的单调减区间（-5，5）
∴该函数在（-5，5）上单调递减

解析