题目

设f（x）=x-

4

x

（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明．

答案

（1）函数的定义域为{x|x≠0}．
因为f（-x）=-x-

4

-x

=-（x-

4

x

）=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

4

x1

）-（x₂-

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2+4)

x1x2

．
因为0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+4＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上单调递增．

解析