题目

已知函数f（x）=x²+

a

x

（x≠0，a∈R）
（1）当a为何值时，函数f（x）为偶函数；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）当a=0时，f（x）=x²为偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设x₂＞x₁≥2，f(x1)-f(x2)=

x

21

+

a

x1

-

x

22

-

a

x2

=

x1-x2

x1x2

[x1x2(x1+x2)-a]，
由x₂＞x₁≥2得x₁x₂（x₁+x₂）＞16，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
要使f（x）在区间[2，+∞）是增函数只需f（x₁）-f（x₂）＜0，
即x₁x₂（x₁+x₂）-a＞0恒成立，则a≤16．
另解（导数法）：f′(x)=2x-

a

x2

，要使f（x）在区间[2，+∞）是增函数，只需当x≥2时，f"（x）≥0恒成立，即2x-

a

x2

≥0，则a≤2x³∈[16，+∞）恒成立，
故当a≤16时，f（x）在区间[2，+∞）是增函数．

解析