题目

探究函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)在区间（0，2）上递减；
（1）函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)在区间______上递增．当x=______时，y_最小=______．
（2）证明：函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数f(x)=x+

4

x

(x＜0)有最值吗？如有，是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）．

答案

（1）由表格中的数据，我们易得：
函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)在区间（2，+∞）上递增．
当x=2时，y_最小=4．；
（2）方法一：由f（x）=x+

4

x

，
∴f"（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
当x∈（0，2）时，∴f"（x）＜0，
∴函数在（0，2）上为减函数．
方法二：设x₁，x₂是区间，（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂.f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，
∴y₁-y₂＞0∴函数在（0，2）上为减函数．
（3）∵f（-x）=-x-

4

x

=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又因为当x=2时y_最小=4，
所以 y=x+

4

x

，x∈(-∞，0)时，x=-2时，y最大=-4

解析