函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（x

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=

1
9
．
（1）求证：f(x)f(
1
x
)=1(x＞0)；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；
（3）若f（m）=3，求正实数m的值．

答案

证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又f(2)=

1
9
，
∴f（1）=1，…（2分）
令y=
1
x
，得f(x•
1
x
)=f(x)f(
1
x
)=f(1)=1；…（4分）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
x2
x1
＞1，0＜f(
x2
x1
)＜1，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（
x2
x1
•x1）=f（x1）-f（
x2
x1
）f（x1）=f（x1）[1-f（
x2
x1
）]，…（7分）
而当x＞0时，f(x)=f(

解析

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