已知函数f（x）=（2x-a）2+（2-x+a）

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=（2x-a）2+（2-x+a）2，x∈[-1，1]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）关于x的方程f（x）=2a2有解，求实数a的取值范围．

答案

（1）f（x）=（2x-a）2+（2-x+a）2=22x+2-2x-2a（2x-2-x）+2a2=（2x-2-x）2-2a（2x-2-x）+2a2+2
令t=2x-2-x，则当x∈[-1，1]时，t关于x的函数是单调递增
∴t∈[-

3
2
，
3
2
]，此时f（x）=t2-2at+2a2+2=（t-a）2+a2+2
当a＜-
3
2
时，f(x)min=f(-
3
2
)=2a2+3a+
17
4

当-
3
2
≤a≤
3
2
时，f（x）min=a2+2
当a＞
3
2
时，f(x)min=f(
3
2
)=2a2-3a+
17
4
．
（2）方程f（x）=2a2有解，即方程t2-2at+2=0在[-
3
2
，
3
2
]上有解，而t≠0
∴2a=t+
2
t
，可证明t+
2
t
在(0，

解析

相关题目