已知函数f1(x)=mx4x2+16，f2
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
已知函数f1(x)=，f2(x)=(
)|x-m|，其中m∈R．
（1）若0＜m≤2，试判断函数f （x）=f1（x）+f2（x）（x∈[2，+∞））的单调性，并证明你的结论；
（2）设函数g(x)=
答案
| （1）f（x）为单调减函数．（1分）
证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f1（x）+f2（x）=+(
)x-m=+2m•(
)x．
由f′(x)=+2m•(
)xln=-2m•(
)xln2，（4分）
且0＜m≤2，x≥2，所以f"（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．（5分）
（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f1（x）和f2（x）在[2，+∞）上单调递减，再得函数f（x）为单调减函数．）
（2）①若m≤0，由x1≥2，g(x1)=f1(x1)=≤0，
x2＜2，g(x2)=f2(x2)=(
)|x2-m|＞0，
所以g（x1）=g（x2）不成立．（7分）
②若m＞0，由x＞2时，g′(x)=f1′(x)=＜0，
所以g（x）在[2，+∞）单调递减．从而g（x1）∈（0，f1（2）]，即g(x1)∈(0，]．（9分）
（a）若m≥2，由于x＜2时，g(x)=f2(x)=(
)|x-m|=(
)m-x=(
)m•2x，
所以g（x）在（-∞，2）上单调递增，从而g（x2）∈（0，f2（2）），即g(x2)∈(0，(
)m-2)．
要使g（x1）=g（x2）成立，只需＜(
)m-2，即-(
)m-2＜0成立即可．
由于函数h(m)=-(
)m-2在[2，+∞）的单调递增，且h（4）=0，
所以2≤m＜4．（12分）
（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，g(x)=f2(x)=(
)|x-m|= |
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