题目

已知函数f(x)=

x

1+|x|

（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x₁＜x₂，判断 f （x₁）和f （x₂）的大小，并给出证明．

答案

（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（-∞，+∞），（2分）
∵f(-x)=

-x

1+|x|

=-

x

1+|x|

=-f(x)（4分）
∴函数f（x）是奇函数（5分）

（Ⅱ）先探究函数f（x）的单调性；
（i）当0≤x₁＜x₂时f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

∵0≤x₁＜x₂∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，x₁-x₂＜0
∴f （x₁）＜f （x₂），
∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是增函数．（7分）
（ii）当x∈（-∞，0）时，由（Ⅰ）知，函数f（x）是奇函数，
∴当x∈（-∞，0）时，函数f（x）是增函数 （9分），则（i）当0≤x₁＜x₂，
f（x₁）＜f（x₂），（ii）当x₁＜x₂＜0，f （x₁）＜f （x₂），
（iii）当x₁＜0≤x₂，总有 f（x₁）＜f（x₂），（11分）
综上所述当x₁＜x₂时，总有 f（x₁）＜f（x₂）． （12分）

解析