已知a≠0，函数f(x)=13a2x3-

难度：一般 题型：解答题 来源：蓝山县模拟

题目

已知a≠0，函数f(x)=

1
3
a2x3-ax2+
2
3
，g（x）=-ax+1，x∈R．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间(0，
1
2
]上至少存在一个实数x0，使f（x0）＞g（x0）成立，试求正实数a的取值范围．

答案

（I）由f(x)=

1
3
a2x3-ax2+
2
3
求导得，f"（x）=a2x2-2ax．
①当a＞0时，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-
2
a
)＜0，解得0＜x＜
2
a

所以f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
在(0，
2
a
)上递减．
②当a＜0时，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-
2
a
)＜0可得
2
a
＜x＜0
所以f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
在(
2
a
，0)上递减．
综上：当a＞0时，f（x）单调递减区间为(0，
2
a
)；
当a＜0时，f（x）单调递减区间为(
2
a
，0)
（Ⅱ）设F(x)=f(x)-g(x)=
1
3
a2x3-ax2+ax-
1
3
x∈(0，
1
2
]．
对F（x）求导，得F"（x）=a2x2-2ax+a=a2x2+a（1-2x），
因为x∈(0，
1
2
]，a＞0，所以F"（x）=a2x2+a（1-2x）＞0，F（x）在区间(0，
1
2
]上为增函数，则F(x)max=F(
1
2
)．
依题意，只需F（x）max＞0，即
1
3
a2×
1
8
-a×
1
4
+a×
1
2
-
1
3
＞0，
即a2+6a-8＞0，解得a＞-3+

解析

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