若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求

1
1-a
+
1
1-b
+
1
1-c
的最小值．

答案

∵0＜a，b，c＜1
∴1-a，1-b，1-c∈（0，1）
∵

1
1-a
+
1
1-b
+
1
1-c
[（1-a）+（1-b）+（1-c）]
=1+
1-b
1-a
+
1-c
1-a
+1+
1-a
1-b
+
1-c
1-b
+1+
1-a
1-c
+
1-b
1-c

=3+(
1-b
1-a
+
1-a
1-b
)+(
1-c
1-a
+
1-a
1-c
)+(
1-c
1-b
+
1-b
1-c
)
≥3+2

解析

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