（理）设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)=lo

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

（理）设a＞0，a≠1为常数，函数f(x)=loga

x-5
x+5

（1）讨论函数f（x）在区间（-∞，-5）内的单调性，并给予证明；
（2）设g（x）=1+loga（x-3），如果方程f（x）=g（x）有实数解，求实数a的取值范围．

答案

（1）设t=

x-5
x+5
，任取x2＜x1＜-5，则
t2-t1=
x2-5
x2+5
-
x1-5
x1+5

=
(x1+5)(x2-5)-(x2+5)(x1-5)
(x2+5)(x1+5)

=
10( x2-x1)
(x2+5)(x1+5)
．
∵x1＜-5，x2＜-5，x2＜x1，
∴x1+5＜0，x2+5＜0，x2-x1＜0．
∴
10(x2-x1) 
(x2+5)(x1+5)
＜0，即t2＜t1．
当a＞1时，y=logax是增函数，∴logat2＜logat1，即f（x2）＜f（x1）；
当0＜a＜1时，y=logax是减函数，∴logat2＞logat1，即f（x2）＞f（x1）．
综上可知，当a＞1时，f（x）在区间（-∞，-5）为增函数；
当0＜a＜1时，f（x）在区间（-∞，-5）为减函数．
（2）g（x）=1+loga（x-3）=logaa（x-3），
方程f（x）=g（x）等价于：

解析

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