设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(

1
2
)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f(x)≥2+f(
3
x-4
)．

答案

（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）
令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
又∵f(

1
2
)=-1
再令m=2，n=
1
2
，得f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)
∵f(
1
2
)=-1∴f(2)=1
（2）令0＜x1＜x2，则
x 2
x 1
＞1
∵当x＞0时，f(x)＞0∴f(
x 2
x 1
)＞0
∵f(mn)=f(m)+f(n)
∴f(x2)-f(x1)=f(x1•
x2
x1
)-f(x1)

=f(x1)+f(
x2
x1
)--f(x1)=f(
x2
x1
)＞0
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1
∴f（4）=2f（2）=2
2+f(
3
x-4
)=f(4)+f(
3
x-4
)=f(
12
x-4
)
∴原不等式可化为f(x)≥f(
12
x-4
)，又∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
∴

解析

相关题目