题目

设f（x）=log

1

2

(

1-ax

x-1

)为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
∴log

1

2

(

1+ax

-x-1

)=-log

1

2

(

1-ax

x-1

)⇔

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

＞0⇒1-a2x2=1-x2⇒a=±1．
检验a=1（舍），∴a=-1．
（2）由（1）知f(x)=log

1

2

(

x+1

x-1

)
证明：任取1＜x₂＜x₁，∴x₁-1＞x₂-1＞0
∴0＜

2

x1-1

＜

2

x2-1

⇒1+

2

x1-1

＜1+

2

x2-1

⇒0＜

x1+1

x1-1

＜

x2+1

x2-1

⇒log

1

2

(

x1+1

x1-1

)＞log

1

2

(

x2+1

x2-1

)
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）内单调递增．
（3）对[3，4]于上的每一个x的值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，即f(x)-(

1

2

)x＞m恒成立．
令g(x)=f(x)-(

1

2

)x．只需g（x）_min＞m，
又易知g(x)=f(x)-(

1

2

)x在[3，4]上是增函数，
∴g(x)min=g(3)=-

9

8

．
∴m＜-

9

8

时原式恒成立．

解析