已知函数f（x）满足f（logax）=aa

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）满足f（logax）=

a
a2-1
（x-x-1），其中a＞0，a≠1
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x-4）的值恒为负数，求a的取值范围．

答案

（1）根据题意，令logax=t，则x=at，
所以f(t)=

a
a2-1
(at-a-t)，即f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)
当a＞1时，因为ax-a-x为增函数，且
a
a2-1
＞0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
当0＜a＜1时，因为ax-a-x为减函数，且
a
a2-1
＜0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
综上所述，f（x）在（-1，1）上为增函数．
又因为f（-x）=
a
a2-1
(a-x-ax)=-f（x），故f（x）为奇函数．
所以f（1-m）+f（1-m2）＜0⇔f（1-m）＜-f（1-m2）⇔f（1-m）＜f（m2-1）
由f（x）在（-1，1）上为增函数，可得

解析

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