已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，记此函数的最小值为g（k），求g（k）的解析式．

答案

（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），
且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
∴c=1，-

b
2a
=-1，b2-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x2+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x2+（2-k）x+1，对称轴为x=
k-2
2
，图象开口向上
当
k-2
2
≤-2即k≤-2时，F（x）在[-2，2]上单调递增，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（-2）=2k+1
当-2＜
k-2
2
≤2即-2＜k≤6时，F（x）在[-2，
k-2
2
]上递减，在[
k-2
2
，2]上递增
此时函数F（x）的最小值g(k)=F(
k-2
2
)=-
k_-4k
4
；
当
k-2
2
＞2即k＞6时，F（x）在[-2，2]上单调递减，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；
综上，函数F（x）的最小值g（k）=

解析

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