设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）写出一个符合要求的函数，并猜想f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

答案

（1）y=logax（a＞1，x＞0），…（2分）f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x2＜x1
由f（xy）=f（x）+f（y），得f（xy）-f（x）=f（y），令xy=x1，x=x2，则，∵x1＞x2＞0，∴

x1
x2
＞1，∴f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)＞0，∴f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
由f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=2，得f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=2…（7分）∴f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），…（8分）
由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得

解析

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