题目

已知函数f（x）=log_a（8-2^x）（a＞0且a≠1）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（-x）的最大值．

答案

（1）∵函数f（x）=log_a（8-2^x），∴8-2^x =a^f（x），x=

log

(8-ay)2

，
故反函数为 y=

log

(8-ax)2

，∴log_a（8-2^x）=

log

(8-ax)2

，∴a=2．
（2）当a＞1时，由题意知，8-2^x＞0，∴x＜3，函数y=f（x）+f（-x）的定义域（-3，3），
函数y=f（x）+f（-x）=log_a（8-2^x）+

log

(8-2-x)a

=

log	(65-8(2x+2-x))a

，
∴2^x+2^-x≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65-8（2^x+2^-x ）≤49，
当a＞1时，函数y=f（x）+f（-x）在x=0处取得最大值log_a49．

解析