设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c
难度：一般
题型：解答题
来源：不详
题目
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：
（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x：
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤(
)2；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x． |
答案
因f（x-4）=f（2-x），则函数的图象关于x=-1对称，∴-=-1，b=2a，
由（3），x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由（1）得，f（1）≥1，由（2）得，f（1）≤1，
则f（1）=1，即a+b+c=1．又a-b+c=0，则b=，a=，c=，故f（x）=x2+x+．
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
取x=1，有f（t+1）≤1，即（t+1）2+（t+1）+≤1，解得-4≤t≤0，
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有f（t+m）≤m，即（t+m）2+（t+m）+≤m．
化简有：m2-2（1-t）m+（t2+2t+1）≤0，解得1-t- |
