已知函数f（x）=x2+ax+ax，且a

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=

x2+ax+a
x
，且a＜1
（1）用定义证明f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数；
（2）若函数f（x）的定义域为[1，+∞），且m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．

答案

（1）因为x∈[1，+∞），所以设1≤x1＜x2，
若a=0，则f(x)=

x2
x
=x在[1，+∞）上是增函数．
若a＜0，则f(x)=x+
a
x
+a在[1，+∞）上是增函数．
若0＜a＜1，则f(x1)-f(x2)=x1+
a
x1
+a-(x2+
a
x2
+a)=x1-x2+
a(x2-x1)
x1x2
=(x1-x2)⋅
1-ax1x2
x1x2
，
因为1≤x1＜x2，a＜1，所以x1-x20．
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数为增函数．
综上恒有f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，
所以由f（3m）＞f（5-2m），得

解析

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