题目

已知函数f(x)=

2x+a

2x+1

，且函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)＜

1

2

，求x的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

答案

（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即

2-x+a

2-x+1

+

2x+a

2x+1

=0，

1+a•2x

2x+1

+

2x+a

2x+1

=0⇒(a+1)(2x+1)=0⇒a=-1
（Ⅱ）∵

2x-1

2x+1

＜

1

2

⇒2(2x-1)＜2x+1，
∴2^x＜3，∴x＜log₂3
（Ⅲ）任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵y"=2^x在R上为增函数，x₁＜x₂∴2^X₁＜2^X₂又∵2^X₁+1＞0，2^X₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x）在R上为增函数．

解析