设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f

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题目

设n为正整数，规定：fn(x)=

解析

相关题目

f{f[…f(x)]}

答案

（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x，得x≥
2
3
，∴
2
3
≤x≤1．
②当1＜x≤2时，∵x-1≤x恒成立，∴1＜x≤2． 
由①②得f（x）≤x的解集为{x|
2
3
≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1，
当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
（3）f1(
8
9
)=2(1-
8
9
)=
2
9
，f2(
8
9
)=f(f1(
8
9
))=f(
2
9
)=
14
9
，
f3(
8
9
)=f(f2(
8
9
))=f(
14
9
)=
14
9
-1=
5
9
，f4(
8
9
)=f(f3(
8
9
))=f(
5
9
)=2(1-
5
9
)=
8
9
，
一般地，f4k+r(
8
9
)=fr(
8
9
)，（k，r∈N*），
∴f2007(
8
9
)=f3(
8
9
)=
5
9
． 
（4）由（1）知，f(
2
3
)=
2
3
，∴fn(
2
3
)=
2
3
，则f12(
2
3
)=
2
3
，
2
3
∈B．
由（2）知，对x=0或x=1或x=2恒有f3（x）=x，∴f12（x）=f4×3（x）=x，则0，1，2∈B．
由（3）知，对x=
8
9
，
2
9
，
14
9
，
5
9
，恒有f12（x）=f4×3（x）=x，
∴
8
9
，
2
9
，
14
9
，
5
9
∈B．
综上所述：
2
3
，0，1，2，
8
9
，
2
9
，
14
9
，
5
9
∈B，
∴B中至少包含8个元素．