题目

已知函数f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函数且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定义判断f（x）在（-∞，-1）上的单调性．

答案

（1）因为f（-x）=-f（x）即

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

所以-ax+b=-ax-b∴b=0，又f（1）=2，所以

2

a+b

=2，∴a=1
（2）由（1）得f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

设x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意两实数，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，因为x₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函数．

解析