题目

（本小题满分12分）
已知对于任意实数满足，当时，.
（1）求并判断的奇偶性；
（2）判断的单调性，并用定义加以证明；
（3）已知,集合,
集合,若，求实数的取值范围.

答案

(1) 是奇函数 (2) 在上是增函数. (3)

解析

试题分析：解：（1）令得 

令，得
 是奇函数 
（2）函数在上是增函数.
证明如下:
设 , ，

(或由(1)得)
在上是增函数.
（3）,又,可得,,
= 
,,可得,
所以，实数的取值范围.
点评：对于函数的奇偶性和单调性是高考考查的重点，因此要熟练的运用概念，先看定义域，然后看解析式f(x)与f(-x)的关系来确定奇偶性，同时结合抽象函数的赋值法表示来证明单调性，需要对于变量合理的变形来证明，这是一个难点，要注意积累。属于难度试题。