题目

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）。
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）证明：f（x）是R上的增函数；
（4）若，求x的取值范围。

答案

解：（1）令a=0，b=0，则，
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1。
（2）当x＜0时，则-x＞0，f（-x）＞1，
又，
∴，
∴0＜f（x）＜1，即f（x）＞0。
（3）在R上任取，，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，即f（x）是R上的增函数。
（4），
∵f（x）在R上单调递增，
∴，
即x的取值范围是（0，3）。

解析