题目

(2014·黄冈模拟)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,有f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为________.

答案

(-∞,-4)∪(0,4)

解析

因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),根据已知条件可知,x<0时,
[xf(x)]′<0,所以F(x)=xf(x)在(-∞,0)上递减,又因为f(x)是R上的偶函数,所以F(x)是R上的奇函数,则F(x)在(0,+∞)上递减,因为f(-4)=0,f(x)为R上的偶函数,所以f(4)=0,则F(-4)=F(4)=0,
综合图象可知xf(x)>0的解集应为(-∞,-4)∪(0,4).