题目

设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当x∈[ 2，3 ] 时， 2²²²3³．（1）求的解析式；（2）若在上为增函数，求的取值范围；（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

答案

（Ⅰ）（2）6（3）不存在符合题意的

解析

（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)="g(2-x)=" -2ax+4x³；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x³，  ∴………4分
（2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x²＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x²，从而a＞(6x²)_max=6．………8分
（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x³在x∈的最大值．
令=2a-12x²=0，得．…10分若∈，即0＜a≤6，则
，故此时不存在符合题意的；
若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．
令2a-4=12，故a=8．综上，存在a = 8满足题设．