题目

(本小题满分14分)
己知函数，(Ⅰ)证明函数是R上的增函数；
(Ⅱ)求函数的值域．(Ⅲ)令．判定函数的奇偶性，并证明

答案

(Ⅰ)略 (Ⅱ) (－1,1)(Ⅲ)略

解析

(Ⅰ)设x, x是R内任意两个值,且x< x,则△x= x－x>0
△y=y－y=f(x)－f(x)=  － 
=  = ………………………… (2分)
当x< x时，2< 2∴2－2>0.又2+1>0,2+1>0
∴△y>0，∴f ( x)是R上的增函数。…………………… （4分）
（Ⅱ）f(x)=  =1－……………………………………………(6分)
∵2+1>1 ∴0<  <2,即－2<－<0，就是－1<1－ <1
∴f(x)的值域为(－1,1)……………………………………… (8分)
(Ⅲ)由题意知g(x)=· ………………（11分）
易知函数 g(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞)
g(－x)= ·＝· = －· =－g(x)
∴函数g(x)为奇函数………………………………………………………………(14分)