已知函数f（x）=aa2-1（ax-a-

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=

a
a2-1
（ax-a-x），（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）当函数f（x）的定义域为（-1，1）时，求使f（1-m）+f（1-m2）＜0成立的实数m的取值范围．

答案

（1）函数f（x）在R上为增函数．
证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=

a
a2-1
[（ax1-a-x1）-（ax2-a-x2）]=
a
a2-1
(ax1-ax2)(1+
1
ax1ax2
)，
当a＞1时，a2-1＞0，ax1-ax2＜0，
∴f（x1）＜f（x2）；
当0＜a＜1时，a2-1＜0，ax1-ax2＞0，
∴f（x1）＜f（x2）；
∴当a＞0且a≠1时，f（x）在R上是增函数；
（2）∵f（x）定义域为（-1，1），在数轴上关于原点对称，…（8分）
又∵f(-x)=
a
a2-1
(a-x-ax)=-
a
a2-1
(ax-a-x)=-f（x），
∴f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数．…（10分）
由f（1-m）+f（1-m2）＜0得f（1-m）＜-f（1-m2），∴f（1-m）＜f（m2-1），…（12分）
∴

解析

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