题目

已知函数f（x）=kx³-3（k+1）x²-2k²+4，若f（x）的单调减区间为（0，4）．
（1）求k的值；
（2）对任意的t∈[-1，1]，关于x的方程2x²+5x+a=f（t）总有实根，求实数a的取值范围．

答案

（1）由题意，f′（x）=3kx²-6（k+1）x
∵f′（4）=0，∴k=1
（2）f′（t）=3t²-12t
∴-1＜t＜0，f′（t）＞0，0＜t＜1，f′（t）＜0
∵f（-1）=-5，f（1）=-3
∴f（t）≥-5
∵2x²+5x+a≥

8a-25

8

∴

8a-25

8

≤-5
∴a≤-

15

8

解析