已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2都

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＞0时f（x）＞0．
（1）试判断f（x）的奇偶性和单调性；
（2）当θ∈[0，

π
2
]时，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有的θ均成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=0得f（0）=0．
再令x1=x，x2=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为R上的奇函数．
设x1＜x2，则x2-x1＞0，当x＞0时f（x）＞0．∴f（x2-x1）＞0
由f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）为R上的增函数．
（2）∵f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0，∴f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）
∵f（x）为R上的奇函数，，即f（-x）=-f（x），∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）
又∵f（x）为R上的增函数，cos2θ-3＞2mcosθ-4m对所有的θ∈[0，

π
2
]均成立，2cos2θ-4＞2m（cosθ-2）恒成立，又∵cosθ-2＜0，∴m＞
cos2θ-2
cosθ-2
恒成立，
又∵
cos2θ-2
cosθ-2
=
cos2θ-4+2
cosθ-2
=cosθ-2+
2
cosθ-2
+4
又θ∈[0，
π
2
]，∴0≤cosθ≤1，∴cosθ-2＜0，
∴cosθ-2+
2
cosθ-2
+4≤4-4

解析

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