已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g(x)=x3+x2[

m
2
+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值？
（3）当a=2时，设函数g(x)=(ρ-2)x+
ρ+2
x
-3，若对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，求实数p的取值范围．

答案

f′(x)=

a
x
-a(x＞0)
（1）当a=1时，f′(x)=
1
x
-1=
1-x
x

令f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递增；
令f′（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递减．
（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=
-2
x
+2，
g(x)=x3+x2[
m
2
+2-
2
x
]=x3+(
m
2
+2)x2-2x，g′（x）=3x2+（4+m）x-2，
因为对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[
m
2
+f′(x)]在区间（t，3）上，
总存在极值，所以只需

解析

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