已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当
难度：一般
题型：解答题
来源：江西模拟
题目
已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数b使得不等式＞
答案
| （1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
因为x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-)，设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），
所以f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
∴f′(x)=+4a=4a•，∵a＜-，∴-4＜--4＜-2，
∴当x∈(-4，--4)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当x∈(--4，-2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
∴f(x)max=f(--4)=4ln(-)+4a(-)=-4，∴a=-1
∴当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-x
（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式＞ |
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