题目

已知函数f（x）=x（lnx+m），g(x)=

a

3

x3+x．
（1）当m=-2时，求f（x）的单调区间；
（2）若m=

3

2

时，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）当m=-2时，f（x）=x（ln x-2）=xln x-2x，
定义域为（0，+∞），且f′（x）=ln x-1．…（2分）
由f′（x）＞0，得ln x-1＞0，所以x＞e．由f′（x）＜0，得ln x-1＜0，所以0＜x＜e．
故f（x）的单调递增区间是（e，+∞），递减区间是（0，e）．…（5分）
（2）由于m=

3

2

，可得f（x）=x（ln x+

3

2

）（x＞0），
不等式g（x）≥f（x）即

a

3

x3+x≥x(ln x+

3

2

)恒成立．
由于x＞0，则

a

3

x2+1≥ln x+

3

2

，亦即

a

3

x2≥ln x+

1

2

，所以a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

．
令h(x)=

3(lnx+ 1 2 )

x2

，则h′(x)=

-6lnx

x3

，
由h′（x）=0得x=1，且当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
即h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（10分）
所以h（x）在x=1处取得极大值h（1）=

3

2

，也是h（x）在定义域上的最大值．
因此要使a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

恒成立，需有a≥

3

2

，故a的取值范围为[

3

2

，+∞)．…（12分）

解析