已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵f（x）=xlnx，
∴f"（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈(0，

1
e
)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(
1
e
，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增，…（3分）
①0＜t＜t+2＜
1
e
，没有最小值；…（4分）
②0＜t＜
1
e
＜t+2，即0＜t＜
1
e
时，f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e
；…（5分）
③
1
e
≤t＜t+2，即t≥
1
e
时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt…（6分）
所以f(x)min=

解析

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