已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2-1.(

难度:一般 题型:解答题 来源:不详

题目

已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2-1.
(1)求函数h(x)=f(x)-

1
2
g(x)的最值;
(2)对于一切正数x,恒有f(x)≤k(x2-1)成立,求实数k的取值组成的集合.

答案

(1)h(x)=lnx-

1
2
(x2-1),(x>0)
求导函数可得h′(x)=
1
x
-x=
1-x2
x
,(x>0)
,所以函数h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减.
所以h(x)的最大值为h(1)=0.….(3分)
(2)令函数F(x)=lnx-k(x2-1)得F′(x)=
1
x
-2kx=
1-2kx2
x

当k≤0时,F′(x)>0恒成立,所以F(x)在(0,+∞)递增,
故x>1时,F(x)>F(0)=0不满足题意.….(5分)
当k>0时,当x∈(0,

解析